2020萍乡学院专升本《数学分析》考试大纲

    一、课程名称：数学分析

二、适用专业：数学与应用数学

三、考试方法：闭卷考试

四、考试时间：120分钟

五、试卷结构：总分：100分；判断题：10分；填空题20分；选择题15分；计算证明应用题：55分

六、参考教材：

1、林元重著，新编数学分析（上、下册），武汉大学出版社，2015年3月第1版

2、陈纪修、於崇华、金路编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2004年6月第二版

3、华东师范大学数学系编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2011年5月第四版

七、考试内容及基本要求

第1章 极限论

1.1引言 

(一) 考核要求

1. 了解数学分析是什么.

2. 掌握实数的性质（有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算），掌握实数的基本概念和最常见的不等式.

3．掌握函数概念和函数的不同的表示方法．

4. 掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

(二) 考核范围

1. 数学分析是什么.

2. 实数的基本性质和绝对值的不等式，区间与邻域，集合的上下界.

3. 函数的定义与表示法，复合函数与反函数，初等函数．

4. 函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

1.2 数列极限概念

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握数列极限概念，学会用数列极限的定义证明极限，学会证明数列极限的基本方法．

2. 掌握数列极限的基本性质，掌握四则运算法则.

3. 掌握夹逼准则，理解数集确界及确界原理，掌握单调有界准则，理解柯西收敛准则．

(二) 考核范围

1. 数列极限概念．

2. 数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则．

3. 数列极限的夹逼准则和单调有界准则，数集的确界及确界原理，数列的子列及相关定理(包括致密性定理)，柯西收敛准则．

1.3 函数极限概念及性质

(一) 考核要求

1. 正确理解和掌握函数极限的定义、定义，掌握极限与左右极限的关系，能够用定义证明和计算函数的极限．

2. 理解并掌握函数极限的基本性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则），会用这些性质计算函数的极限．

(二) 考核范围

1. 函数极限的定义、定义，左右极限.

2. 函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则．

1.4 函数极限存在的准则与两个重要极限

(一) 考核要求

1. 理解并掌握函数极限的归结原则，了解函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．能够写出函数极限的归结原理和柯西准则．

2. 熟练掌握两个重要极限.

(二) 考核范围

1. 函数极限的归结，函数极限的单调有界定理，函数极限的柯西准则．

2. 两个重要极限.

1.5 无穷小量与无穷大量

(一) 考核要求

掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．

(二) 考核范围

无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小，无穷大．

1.6 连续性概念

(一) 考核要求

深刻理解并掌握函数连续性概念．

(二) 考核范围

1. 函数连续，函数左右连续，区间上函数连续的概念.

2. 间断点及其分类.

1.7 连续函数的局部性质与初等函数的连续性

(一) 考核要求

掌握连续函数的局部性质和和初等函数的连续性．

(二) 考核范围

1. 连续函数的局部有界性，局部保号性，四则运算.

2. 复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性.

1.8 闭区间上连续函数的性质

(一) 考核要求

1. 理解闭区间上连续函数的最大最小值定理，介值性定理.

2. 理解并掌握一致连续性概念，理解一致连续性定理．

(二) 考核范围

1. 连续函数的最大最小值定理，介值性定理.

2. 一致连续性概念，一致连续性定理．

1.9 实数的连续性与上(下)极限

(一)考核要求

1. 理解区间套定理、聚点定理，了解上（下）极限及其性质.

2. 理解有限覆盖定理，了解几个基本定理的等价性.

(二)考核范围

1. 区间套定理、聚点定理，上（下）极限及其性质.

2. 有限覆盖定理，几个基本定理的等价性.

第2章 一元函数微分学

2.1 导数的概念

(一) 考核要求

1. 理解并掌握导数的定义，掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义.

2. 了解增量——微分公式，掌握可导与连续的关系.了解费马定理、达布定理．

(二) 考核范围

1. 变化率——导数，单侧导数，导函数，几个基本导数公式，几何意义．

2. 增量——微分公式，可导与连续的关系.

2.2 导数的运算法则

(一) 考核要求

1. 熟练掌握导数的四则运算法则，理解反函数的求导法则.

2. 熟练掌握复合函数的求导法则及基本导数公式．

3. 知道求分段函数在分段点处的导数.

(二) 考核范围

1．导数的四则运算法则，反函数的求导法则.

2. 复合函数的求导法则，对数求导法，基本导数公式．

2.3 参变量函数和隐函数的导数

(一) 考核要求

掌握参变量函数的求导法则，知道求隐函数的导数，会运用求导法则求相关变化率．

(二) 考核范围

参变量函数的求导法则，隐函数的求导法，相关变化率．

2.4 微分

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握微分的概念，掌握微分的运算方法，了解微分在近似计算中的应用．

2. 理解微分与导数的关系，会利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.

(二) 考核范围

1. 微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用．

2. 利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.

2.5 高阶导数与高阶微分

(一) 教学目的

1. 掌握高阶导数的概念和计算，掌握高阶导数的莱布尼茨公式．

2. 了解高阶微分及其计算，知道高阶导数与高阶微分的关系.

(二) 考核范围

1. 高阶导数及其计算，高阶导数的莱布尼茨公式．

2. 高阶微分及其计算.

2.6 拉格朗日定理和函数的单调性、极值

(一) 考核要求

1. 掌握罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件、结论及证明方法，会应用中值定理证明一些不等式和一些中值公式，了解达布定理和导数极限定理.

2. 掌握求函数的单调区间和极值及最值的一般方法.

(二) 考核范围

1. 极值概念与费马定理.

2. 罗尔定理，拉格朗日中值定理，应用中值定理证明不等式和中值公式举例，达布定理，导数极限定理．

3. 函数的单调性与极值，函数的最值，最值应用题举例.

2.7 柯西中值定理和不定式极限

(一) 考核要求

掌握柯西中值定理，掌握罗比达法则，会求各种形式的不定式极限.

(二) 考核范围

柯西中值定理及其简单应用举例，洛必达法则，不定式极限计算举例．

2.8 泰勒公式

(一) 考核要求

理解带两种余项形式的泰勒公式，掌握基本初等函数的麦克劳林公式(熟记六个)，会利用它们求不定式极限，了解泰勒公式在求高阶导数、函数极值以及近似计算方面的应用.

(二) 考核范围

1. 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，几个基本初等函数的麦克劳林公式．

2. 泰勒公式应用举例（不定式极限，高阶导数，函数极值，近似计算）.

2.9其它应用

(一) 考核要求

1. 掌握函数凸性与拐点的概念， 会求函数凹凸区间与拐点，了解函数凸性在证明不等式方面的应用.

2．会求曲线的渐近线，了解函数作图的一般步骤，会描绘函数的图像.

3. 了解求方程近似解的牛顿切线法．

(二) 考核范围

函数的凸性与拐点，凸性的判定，渐近线，函数作图，方程的近似解.

第3章 一元函数积分学

3.1 不定积分的概念与线性运算

(一) 考核要求

理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握基本积分公式及不定积分的线性运算法则，

了解不定积分的几何意义，了解连续分段函数的原函数的求法.

(二) 考核范围

原函数与不定积分的概念，基本积分公式与线性运算法则，不定积分的几何意义．

3.2 换元积分法与分部积分法

(一) 考核要求

理解并熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．

(二) 考核范围

第一、二换元积分法，分部积分法．

3.3 有理函数和三角函数有理式的不定积分

(一) 考核要求

掌握有理函数不定积分的计算方法，会计算一些三角函数有理式的不定积分，会计算一些简单无理函数的不定积分，了解欧拉变换法．

(二) 考核范围

有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，两类无理函数的不定积分．

3.4 定积分的概念与牛顿——莱布尼茨公式

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握定积分的概念，知道定积分概念的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．

2. 熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，会利用牛顿——莱布尼茨公式计算一些特殊的和式极限．

(二) 考核范围

定积分的几何背景和物理背景，定积分的定义(极限形式的定义和定义)，牛顿——莱布尼茨公式．

3.5 可积函数类与定积分的性质

(一) 考核要求

1. 理解函数可积的必要条件，函数可积的充要条件(可积准则)，掌握三类可积函数，对这些定理的证明及其证明思路只要求读懂，不作其它较高要求.

2. 理解并掌握定积分的若干基本性质，能证明一些简单的积分不等式.

(二) 考核范围

1. 可积的必要条件，上(下)和与上(下)积分，可积的充要条件(可积准则),可积函数类.

2. 定积分的基本性质，积分第一中值定理．

3.6 微积分学基本定理、定积分的计算(续)

(一) 考核要求

1. 掌握微积分学基本定理，会求变上(下)限的定积分的导数．

2. 熟练掌握换元积分法与分部积分法.

3. 理解积分第二中值定理，理解泰勒公式的积分型余项，了解定积分近似计算．

(二) 考核范围

变上(下)限的定积分，微积分学基本定理，换元积分法与分部积分法，积分第二中值定理，泰勒公式的积分型余项，定积分近似计算．

3.7 (3.8)定积分的应用

(一) 考核要求

1. 领会微元法的要领，掌握平面图形面积、由平行截面面积求体积、平面曲线弧长的计算公式，了解曲线的曲率，旋转曲面的面积．

2. 领会定积分在物理应用方面的基本方法．

(二)考核范围

1. 微元法概述.

2. 平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面面积．

3. 功，液体静压力，引力．

3.9 无穷积分与瑕积分

(一) 考核要求

1. 掌握无穷积分与瑕积分的定义和计算.

2. 理解无穷积分的基本性质，掌握非负函数无穷积分的收敛性判别的比较判别法，掌握绝对收敛和条件收敛的概念，理解狄利克雷判别法和阿贝尔判别法(不作其它较高要求)．

3. 了解瑕积分与无穷积分的关系，了解瑕积分的收敛性判别法．

(二) 考核范围

1. 无穷积分与瑕积分的定义和计算.

2. 无穷积分的基本性质，比较判别法(包括极限形式及特殊形式)，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．

3. 瑕积分的收敛性判别法．

第4章 级数论

4.1 数项级数的基本概念及性质

(一) 考核要求

1. 理解数项级数收敛与发散的定义，掌握收敛级数的基本性质，能够根据定义或性质判别一些简单简单级数的敛散性.

2. 掌握等比级数与调和级数.

3. 理解级数收敛的柯西准则，对应用柯西准则判别级数的敛散性不作较高要求.

(二) 考核范围

数项级收敛与发散的定义和基本性质，等比级数，调和级数，柯西准则．

4.2 正项级数

(一) 考核要求

1. 掌握判别正项级数敛散性的基本方法：比较判别法，比式判别法和根式判别.

2. 了解积分判别法和拉贝判别法．

(二) 考核范围

1. 比较判别法，比式判别法，根式判别法．

2. 积分判别法，拉贝判别法．

4.3 变号级数

(一) 考核要求

1. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握绝对收敛与条件收敛概念.

2. 理解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，对其应用一般不作较高要求．

3. 理解绝对收敛级数的两条重要性质，对其应用不作较高要求．

(二) 考核范围

1. 交错级数及其莱布尼茨判别法，绝对收敛与条件收敛．

2. 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.

3. 绝对收敛级数的重排，绝对收敛级数的乘积.

4.4 函数项级数及其一致收敛性

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握函数列和函数项级数一致收敛性的定义，理解一致收敛的柯西准则.

2. 掌握一致收敛的另一充要条件(即)，掌握判别函数项级数的魏尔斯特拉斯判别法即优级数判别法．

3. 理解判别函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，对其应用不作较高要求．

(二) 考核范围

1. 函数列与函数项级数一致收敛性的定义，一致收敛的柯西准则.

2. 一致收敛的另一充要条件，魏尔斯特拉斯判别法．

3. 函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

4.5 一致收敛函数序列与函数项级数的性质

(一) 考核要求

理解并掌握一致收敛函数列和函数项级数的连续性，逐项积分与逐项求导法则．

(二) 考核范围

一致收敛函数列与函数项级数的连续性，逐项积分与逐项求导法则．

4.6 幂级数及其性质

(一) 考核要求

掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法，掌握幂级数的基本性质和运算法则．

(二) 考核范围

幂级数的收敛半径，收敛半径的计算公式，收敛区间和收敛域的概念．

4.7 函数的幂级数展开

 (一) 考核要求

掌握泰勒级数和麦克劳林级数，熟记一些初等函数的幂级数展开式，掌握初等函数的幂级数展开.

(二) 考核范围

泰勒级数，麦克劳林级数，五种基本初等函数的幂级数展开式，初等函数的幂级数展开（直接法和间接法）．

4.8 傅里叶级数

(一) 考核要求

1. 理解三角级数和傅里叶级数定义，掌握傅里叶级数的收敛定理，能够按照收敛定理将比较简单的函数展开成傅里叶级数．

2. 掌握以为周期的函数的展开式，掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，掌握正弦级数，余弦级数．

3. 了解收敛定理的证明，了解傅里叶级数的一致收敛性．

(二) 考核范围

1. 三角级数；正交函数系，傅里叶级数，收敛定理，傅里叶级数的展开式举例．

2. 以为周期的函数的展开式，掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开式，函数的奇延拓与偶延拓及正弦级数与余弦级数．

3.黎曼引理，收敛定理的证明，贝塞尔不等式，一致收敛性定理．

第5章 多元函数微分学

5.1多元函数与极限(6)

(一) 考核要求

1. 理解二元及多元函数的定义．了解平面中邻域，开域，闭域的定义.

2. 理解二元函数重极限的定义，知道二元函数极限存在的充要条件，了解方向极限与累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二) 考核范围

1. 二元函数及多元函数,平面中的邻域，开域，闭域.

2. 二元函数重极限定义，二元函数极限存在的充要条件，方向极限与累次极限.

5.2 二元函数的连续性

(一) 考核要求

1. 理解二元函数的连续性的定义，知道二元初等函数的连续性.

2. 了解有关二维空间上的完备性定理，知道有界闭区域上连续函数的整体性质．

(二) 考核范围

1. 二元函数的连续性的定义，二元初等函数的连续性.

2. 中的聚点定理，致密性定理，闭区域套定理，有限覆盖定理.

3. 有界闭域上连续函数的最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．

(1) 基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．

(2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点．

5.3 偏导数与全微分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握多元函数偏导数的定义，知道偏导数的几何意义，能够熟练的求出初等函数的偏导数和高阶偏导数，能够求二元函数在一些特殊的导数，知道混合偏导数与求导顺序无关的条件.

2. 理解并掌握二元函数可微和全微分的定义，掌握微分法则，掌握可微的必要条件，理解可微的充分条件，了解高阶全微分及其运算．

(二) 考核范围

1. 多元函数偏导数与高阶偏导数，偏导数的几何意义，混合偏导数与求导顺序无关的条件.

2. 二元函数可微和全微分的定义，微分法则，可微的必要条件，可微的充分条件，高阶全微分及其运算．

5.4 复合函数微分法与方向导数

(一) 考核要求

理解并熟练掌握复合函数求导的链式法则， 掌握方向导数与梯度的定义及其运算，了解二元函数的梯度的几何意义．

(二) 考核范围

1. 复合函数链式法则，复合函数的全微分，一阶全微分形式不变性．

2. 方向导数与梯度

5.5 多元函数的泰勒公式

(一) 考核要求

理解并掌握多元函数的泰勒公式，了解泰勒公式的一个推论——中值定理．

(二) 考核范围

泰勒公式与中值定理，泰勒公式的计算与应用举例．

5.6 隐函数及其微分法

(一) 考核要求

1. 理解隐函数定理和可微性定理，掌握隐函数微分法．

2. 了解隐函数组及其可微性定理，知道求隐函数组的偏导数.

(二) 考核范围

1. 隐函数存在性定理，隐函数可微性定理．

2. 隐函数组及其可微性定理，反函数组定理．

5.7 多元函数偏导数的几何应用

(一) 考核要求

1. 理解空间曲线(两种表示形式)的切线方程的推导，掌握空间曲线的切线与法平面方程的求法，理解曲面(两种表示形式)的切平面方程的推导，掌握曲面的切平面与法线的求法．

2. 了解二元函数全微分的几何意义，了解三元函数梯度的几何意义.

(二) 考核范围

1. 空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程．

2. 二元函数全微分的几何意义，、三元函数梯度的几何意义.

5.8多元函数的极值与条件极值

(一) 考核要求

1. 掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．

2. 了解拉格朗日乘数法，会用拉格朗日乘数法求条件极值．

(二) 考核范围

1. 二元函数的极值，必要条件与充分条件．

2. 条件极值，拉格朗日乘数法，用条件极值的方法证明不等式．

第6章 多元函数积分学

6.1 二重积分

(一) 考核要求

1. 了解平面点集的面积定义及其性质，理解二重积分的定义和性质，理解有界闭区域上的连续函数可积的结论，理解并熟练掌握化二重积分为累次积分的计算公式．

2. 理解二重积分变量变换公式的证明，掌握用极坐标计算二重积分．

(二) 考核范围

1. 二重积分的定义和性质，化二重积分为累次积分的计算公式．

2. 二重积分的变量变换公式，用极坐标计算二重积分．

6.2 三重积分

(一) 考核要求

1. 掌握三重积分的定义，了解三重积分的性质，熟练掌握化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).

2. 了解三重积分变量变换公式，掌握用球坐标和柱坐标计算三重积分．

(二) 考核范围

1. 三重积分的定义，化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).

2. 三重积分变量变换公式，柱坐标变换公式，球坐标变换公式．

6.3 n重积分和广义重积分

(一) 考核要求

了解n重积分和广义二重积分的概念和性质，了解广义二重积分的收敛性判别．

(二) 考核范围

n重积分的定义，计算公式，广义二重积分的性质，收敛性判别．

6.4 重积分的应用

(一) 考核要求

掌握用重积分计算计算面积和体积，掌握曲面面积的计算公式，了解物体的重心，转动惯量与引力及其计算公式．

(二) 考核范围

平面区域的面积，立体的体积，曲面的面积，物体重心，转动惯量，引力．

6.5 第一型曲线积分

(一) 考核要求

理解并掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

(二) 考核范围

第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

6.6 第二型曲线积分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握第二型曲线积分的定义，性质，坐标形式和计算公式.

2. 了解两类曲线积分之间的联系.

(二) 考核范围

1. 第二型曲线积分的定义，性质，坐标形式和计算公式.

2. 两类曲线积分之间的联系.

6.7 格林公式

(一) 考核要求

理解并掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件．

(二) 考核范围

格林公式，曲线积分与路线无关的条件．

6.8 第一型曲面积分

(一) 考核要求

理解并掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．

(二) 考核范围

第一型曲面积分的定义和计算公式．

6.9 第二型曲面积分

(一) 考核要求

理解并掌握第二型曲面积分的定义、性质，了解两类曲面积分的联系，掌握第二型曲面积分的计算公式．

(二) 考核范围

有向曲面的概念，第二型曲面积分的定义、性质，两类曲面积分的联系，第二型曲面积分的计算公式．

6.10 高斯公式与斯托克斯公式

(一) 考核要求

理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式．

(二) 考核范围

高斯公式，斯托克斯公式，沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．

*6.11 含参变量的积分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握含参变量的定积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握计算含参变量的定积分基本方法.

2. 了解含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质，了解一致收敛性判别法（魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．

3. 了解含参变量的广义积分的连续性，可微性与可积性定理，了解含参变量的定积分基本方法.

4. 了解函数与函数的定义、性质及其联系．

(二) 考核范围

1. 含参变量的定积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，定理的应用.

2. 含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质，一致收敛性判别法．

3. 连续性，可微性与可积性定理，定理的应用.

4．函数与函数的定义、性质及其联系，余元公式．

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