赣南医学院2020年专升本考试《高等数学》考试大纲

英文名称：higher mathematics

适用专业：专科三年制医疗器械制造与维护专业、专科三年制医学影像技术专业升本科四年制医学影像技术专业

参考教材：

1.《高等数学》（第四版），同济大学数学教研室编，高等教育出版社 1996.12

2.《高等数学典型题精解》，陈兰祥编著，学苑出版社 2001.9

3.《高等数学》，张德舜编著，中国医药科技出版社 1996.6

4.《大学数学应用基础》(上册、中册、下册)（第二版），陈运明等主编，湖南教育出版社 2010.7

一、课程简介

高等数学（包括微积分、线性代数、概率统计）是一门高等医药院校医学影像技术专业的基础理论课程，使学生了解或掌握高等数学中有关的重要概念、理论和方法以及它们的实际背景，从而建立正确的数学概念，学会使用数学的方法分析、描述、解决医学影像技术中的一些问题。它为后续课程及科学研究等提供必要数学工具，作为高等院校基础课的高等数学是培养具有创新能力的人才的重要保证。

二、考试目的

本课程的考试目的，要求学生系统掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力以及自学能力，正确领会一些重要的数学思想方法，具有对医疗器械制造与维护以及医学影像技术问题进行定量分析与处理的能力，为学习医学影像技术后继课程和进一步获得数学知识及科学研究等奠定必要的数学基础。使学生认识到数学来源于实践又服务于实践，从而树立辩证唯物主义世界观，培养学生良好的学习习惯，严谨思维、求实的作风，勇于探索、敢于创新的思想意识。

三、考试要求与内容

本课程的考试内容主要有：函数、极限、连续，导数与微分、中值定理与导数的应用，不定积分、定积分及其应用，线性代数，概率论基础等。考试要求与内容具体如下：

第一章 函数、极限与连续

（一）考试要求

1.掌握函数、函数极限的概念与性质。

2.理解无穷小量与无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法。

3.理解基本初等函数、复合函数、函数的连续性概念（含左连续性与右连续性），会判别函数间断点。

3.熟悉函数的连续性概念与求函数极限的各种运算方法。

4.熟悉并能够灵活地运用两个重要极限。

5.了解函数的表示法、初等函数的图形与函数的连续性在闭区间上的性质。

（二）考试内容

1.函数的概念

2.函数的特性（1）奇偶性（2）单调性（3）有界性（4）周期性

3.反函数

4.基本初等函数表

5.复合函数、初等函数

6.函数的极限

7.无穷小与无穷大

8.极限的运算法则

9.极限存在准则、两个重要极限

10.函数的连续性（1）连续与间断（2）连续函数的运算法则（3）闭区间上连续函数的两个重要性质

第二章 导数与微分

（一）考试要求

1.理解导数、微分的概念以及它们间的关系，知道函数连续与可导的关系，了解导数、微分的几何意义及微分在近似计算中的应用。

2.熟练掌握用导数的基本公式与运算法则的求导方法，以及计算复合函数、隐函数及反函数的导数；掌握用微分定义求微分。

3.了解高阶导数的概念，掌握求初等函数的一阶、二阶导数，会求函数的高阶导数。

（二）考试内容

1.导数的概念（1）导数的定义（2）导数的几何意义（3）可导与连续

2.函数的和、差、积、商的求导法则（1）函数和、差的求导法则（2）函数积的求导法则（3）函数商的求导法则

3.复合函数求导法则

4.隐函数求导法则

5.初等函数的求导法则  

6.高阶导数

7.函数的微分（1）微分的概念（2）微分的计算（3）微分的应用

第三章 中值定理与导数的应用

（一）考试要求

1.了解罗尔定理与拉格朗日定理，知道柯西定理；

2.会用罗必达法则求型与型未定式的极限；

3.掌握用导数判断函数单调性的方法；

4.理解函数的极值概念，掌握函数极值的必要条件和第一、第二充分条件，会求函数极值；

5.掌握求函数最值的方法，会求简单应用题的最值问题；

6.会用二阶导数求曲线的拐点，判断曲线的凹凸性。

（二）考试内容

1.中值定理

2.罗必达法则  

3.函数的单调的的判别

4.函数的极值

5.函数的最大值和最小值          

6.函数的凹凸与拐点   

7.函数图象的描绘

第四章 不定积分

（一）考试要求

1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质和运算法则；

2.熟练掌握基本积分公式；

3.掌握不定积分第一类换元积分法，熟悉常用的凑微分方法，理解第二类换元积分法；

4.掌握不定积分的分部积分法；

5.了解有理函数和三角函数有理式的积分方法。

（二）考试内容

1.不定积分的概念（1）不定积分的定义（2）不定积分的几何意义

2.不定积分的运算法则与直接积分法（1）基本积分表（2）不定积分的运算法则

3.换元积分法

（1）第一换元积分法（凑微分法）（2）第二换元积分法

4.分部积分法

5.几种初等函数的积分

第五章 定积分及其应用

（一）考试要求

1.了解微元法、广义积分及其收敛发散的概念。

2.掌握牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法。

3.熟悉定积分的概念、性质和微积分基本定理。

4. 掌握定积分的应用。

（二）考试内容

1.定积分的概念与性质（1）定积分的定义（2）定积分的基本性质

2.微积分基本公式（1）变上限的定积分（2）微积分学基本定理

3.定积分的换元积分法与分部积分法（1）定积分的换元法（2）定积分的分部积分法

4.广义积分

（1）无穷积分的定义（2）无穷积分的计算

5.定积分在几何上的应用（1）微元分析法（2）定积分应用的几个实例

第六章 向量代数与空间解析几何

（一）考试要求

1.理解：①空间直角坐标系、向量、向量坐标的概念；②向量的线性运算、数量积、向量积的定义；③向量平行、垂直的充要条件。

2.掌握：①空间两点的距离公式；②用坐标进行向量的运算；③平面与直线的几种常用方程。

3.了解：①曲面及其方程的概念；②曲面的一般方程及常见的二次曲面的方程及其图形；③空间曲线及其方程的概念；④空间曲线的一般方程及参数方程。

（二）考试内容

1.向量及其线性运算（1）空间直角坐标系（2）空间向量及其线性运算（3）向量的坐标表示

2.向量的向量积   

3.平面与直线（1）平面（2）直线（3）平面、直线间的夹角（4）点到平面的距离

4.曲面与曲线（1）曲面方程的概念（2）旋转曲面（3）柱面（4）二次曲面（5）曲线

第七章 多元函数微积分

（一）考试要求

1.理解多元函数、偏导数、全微分、二元函数极限、二重积分的概念和二重积分的简单性质；

2.掌握多元复合函数的求导方法并熟练多元复合函数的求导运算；

3.掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法；

4.掌握二重积分在直角坐标与极坐标系中的计算方法并熟练二重积分计算；

5.了解函数极值的必要条件。

（二）教学内容

1.多元函数（1）多元函数的概念（2）二元函数的极限（3）二元函数的连续性

2.偏导数    

3.全微分    

4.复合函数的偏导数（1）复合函数的偏导数（2）隐函数的偏导数

5.多元函数极值  

6.二重积分（1）二重积分的概念及简单性质（2）在直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算

第八章 微分方程

（一）考试要求

1.理解微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念及二阶常系数齐次微分方程的解法；

2.了解二阶线性微分方程解的结构；

3.掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

（二）教学内容

1.微分方程的概念          

2.可分离变量的微分方程  

3.一阶线性微分方程  

4.二阶常系数线性微分方程（1）线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐次线性微分方程

第九章 无穷级数

（一）考试要求

1.理解常数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念、级数的基本性质、正项级数的比较审敛法与比值审敛法、交错级数的莱布尼茨判别法及幂级数的收敛半径、收敛域。

2.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念、绝对收敛与收敛的关系及幂级数运算性质，傅立叶级数及将周期为2π的函数展开为傅立叶级数。

3.掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。

（二）教学内容

1.常数项级数（1）常数项级数的概念（2）级数的基本性质

2.常数项级数的审敛法（1）正项级数的审敛法（2）交错级数的审敛法（3）绝对收敛与条件收敛

3.幂级数（1）幂级数的概念（2）幂级数的运算性质（3）函数展开成幂级数（4）幂级数展开式在近似计算上的应用举例。

第十章 行列式

（一）考试要求

1.理解二阶、三阶行列式的概念及行列式的性质、克莱姆法则。

2.了解高阶行列式的概念、行列式的代数余子式概念。

3.掌握行列式的常用计算法（对角线法、三角形法及降阶法）。

（二）教学内容

1.二阶、三阶行列式（1）二阶行列式（2）三阶行列式

2.三阶行列式的性质

3.高阶行列式  克莱姆法则（1）高阶行列式（2）克莱姆法则

第十一章 矩阵

（一）考试要求

1.理解矩阵的概念及其的性质、初等变换的概念。

2.了解几种常见的特殊矩阵及初等矩阵的概念。

3.掌握矩阵的运算法则。

4.熟练掌握可逆矩阵的判别法及求逆矩阵的方法。

（二）考试内容

1.矩阵的概念及其运算（1）矩阵的概念（2）矩阵的运算

2.逆矩阵（1）逆矩阵的概念（2）逆矩阵的求法

3.矩阵的初等变换（1）矩阵的初等变换（2）初等矩阵（3）用矩阵的初等变换求逆矩阵

第十二章 线性方程组

（一）考试要求

1.理解n维向量的线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩、线性方程组的一般解、特解、基础解等概念。

2.了解n维向量的定义、向量组的线性组合、线性表示、线性方程组的系数矩阵、增广矩阵等概念。

3.掌握线性方程组的解的判定方法和求线性方程组的解的基本方法和步骤。

（二）考试内容

1.n维向量及其线性关系（1）n维向量及其运算（2）向量组的线性相关（3）向量组的秩与矩阵的秩  

2.线性方程组解的判定与解的结构（1）高斯消元法（2）线性方程组解的结构

第十三章 概率

（一）考试要求

1.了解随机事件、事件间的关系及其运算；概率的统计定义及基本性质；独立重复试验；随机变量的概念；全概率公式和贝叶斯公式。

2.理解古典概型的定义；条件概率的概念；分布列和分布密度的概念及性质；数学期望和方差的概念和性质。

3.掌握概率的加法定理和对立事件的概率公式；概率的乘法公式；随机变量的数学期望和方差的计算、正态分布的计算。

（二）考试内容

1.随机事件（1）随机现象（2）样本空间（3）事件间的关系与运算

2.概率的定义及其性质（1）概率的统计定义（2）概率的古典定义（3）概率的加法公式

3.条件概率（1）条件概率（2）乘法公式

4.全概率公式与贝叶斯公式（1）全概率公式（2）贝叶斯公式

5.事件的独立性、贝努里概型（1）事件的独立性（2）贝努里概型

6.随机变量及其分布（1）随机变量的概念（2）离散型随机变量（3）连续随机变量

7.数学期望及其简单性质（1）离散型随机变量的数学期望（2）连续型随机变量的数学期望（3）期望的简单性质

8.方差及其简单性质（1）方差的概念（2）方差的简单性质（3）随机变量和的期望与方差

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